¿Qué es la probabilidad y cómo se calcula?

El método, paso a paso

1. 01

   Defina un experimento y liste todo lo que puede producir

   rolling a fair die: {1, 2, 3, 4, 5, 6} — 6 outcomes

   La lista completa es el espacio muestral, y casi toda probabilidad equivocada viene de listarlo con descuido y no de la aritmética. Escribirlo entero merece el tiempo en cualquier pregunta que no haya visto antes, porque el denominador de su respuesta está ahí dentro.

2. 02

   Compruebe si los resultados son igual de probables

   fair die: yes. A drawing pin landing point-up or point-down: no.

   La fórmula de conteo solo vale cuando todos los resultados tienen la misma posibilidad. Para una ruleta trucada o una chincheta, la probabilidad tiene que venir de datos experimentales, como frecuencia relativa. Dar por hecha la equiprobabilidad cuando la pregunta no la ha declarado es un error de verdad, no un tecnicismo.

3. 03

   Cuente los resultados que cumplen el suceso y divida

   P(even) = 3/6 = 1/2

   El numerador cuenta únicamente los resultados que hacen que el suceso ocurra —aquí 2, 4 y 6— y el denominador son todos los resultados de la lista. Mantenerlos en ese orden es lo que hace que la respuesta sea una fracción de uno y no una razón, que es otra cosa y se puntúa de otra manera.

4. 04

   Sitúe la respuesta en la escala de 0 a 1 y compruébela

   0 ≤ P(A) ≤ 1 P(not A) = 1 - P(A)

   Una probabilidad mayor que 1 o menor que 0 no es una respuesta poco probable: es una respuesta imposible, y darse cuenta de eso es la comprobación de errores más rápida que existe. La regla del complementario sale de la misma escala: como algo tiene que ocurrir, la posibilidad de que un suceso no ocurra es lo que sobra.

5. 05

   Con dos sucesos, decida si es "y" o si es "o"

   and (independent): 1/2 × 1/2 = 1/4 or (mutually exclusive): 1/6 + 1/6 = 1/3

   Esta única palabra decide la operación. Dos caras con dos monedas legales es una "y", así que las probabilidades se multiplican y dan 1/4. Sacar un 2 o un 5 con un dado es una "o" entre resultados que no pueden darse a la vez, así que se suman y dan 1/3. Leer la pregunta buscando esa palabra antes de calcular es el hábito que merece la pena.

01

Todo está entre 0 y 1

Una probabilidad es un número de 0 a 1, los dos incluidos, donde 0 significa que el suceso no puede ocurrir y 1 que tiene que ocurrir. Se puede escribir como fracción, como decimal o como porcentaje, y las tres formas se aceptan salvo que la pregunta pida una: 1/4, 0.25 y 25% son la misma respuesta.

Como la lista cubre todos los resultados posibles, las probabilidades de todos los resultados de un experimento suman exactamente 1. Ese hecho es más útil de lo que parece: permite hallar una probabilidad que falta en una ruleta o en una tabla restando de 1 las que ya se tienen.

02

Lo contrario suele salir más corto

P(no A) = 1 − P(A), y recurrir a ello es a menudo la diferencia entre una línea de desarrollo y diez. Las preguntas que piden "al menos uno" son el caso más claro: lo contrario de al menos uno es ninguno, y ninguno suele ser un único cálculo corto.

Para una bolsa con 5 fichas rojas, 3 azules y 2 verdes, P(roja) = 5/10 = 1/2, así que P(no roja) = 1/2 sin contar por separado las azules y las verdes. En un espacio muestral mayor el ahorro es mucho mayor.

03

Multiplicar, sumar y qué cambia sin reemplazamiento

Los sucesos independientes que ocurren los dos tienen sus probabilidades multiplicadas. Los sucesos mutuamente excluyentes en los que ocurre uno u otro tienen las suyas sumadas. Confundirlos es el error más frecuente del tema, y la solución es leer la pregunta buscando las palabras "y" y "o" antes de escribir nada.

La selección sin reemplazamiento cambia la segunda probabilidad, porque el primer elemento no se devuelve. De la bolsa de 10 fichas, la posibilidad de sacar dos rojas seguidas sin reemplazamiento es 5/10 × 4/9 = 20/90 = 2/9: la segunda fracción tiene a la vez un numerador y un denominador más pequeños, ya que se han ido una ficha roja y una ficha en total.

Un diagrama de árbol es la forma estándar de mantener esto claro. Cada rama lleva su propia probabilidad, las probabilidades a lo largo de un camino se multiplican y las probabilidades de caminos completos distintos se suman.

• "Y", independientes: multiplicar, P(A y B) = P(A) × P(B)
• "O", mutuamente excluyentes: sumar, P(A o B) = P(A) + P(B)
• Sin reemplazamiento: reduzca las dos partes de la segunda fracción
• A lo largo de una rama se multiplica; entre ramas distintas se suma

04

Cómo enseñamos esto

Empezamos toda pregunta de probabilidad escribiendo el espacio muestral, incluso cuando el alumno ya ve la respuesta. El hábito cuesta unos segundos en las preguntas fáciles y es lo que hace abordables las difíciles, porque en esas el denominador es toda la dificultad.

Los diagramas de árbol se enseñan como una manera de registrar el razonamiento y no como un tema aparte. Un alumno que entiende que una rama significa "y" y una bifurcación significa "o" no necesita memorizar cuándo hay que multiplicar.