Progresser vraiment en maths : diagnostiquer, revenir en arrière, reconstruire

Pourquoi relire ses notes n'est pas travailler

Relire ses notes et regarder des corrigés est la façon la plus courante de préparer un contrôle, et elle ne vaut presque rien. Les deux activités sont passives. Vous regardez quelqu'un d'autre faire la chose, et l'aisance que vous ressentez est la sienne, pas la vôtre. Reconnaître n'est pas restituer. Quand un exemple corrigé est à l'écran, chaque étape paraît évidente, parce que le plus dur, décider quelle étape vient ensuite, a déjà été fait à votre place.

La restitution active est l'inverse. Vous fermez le livre et vous produisez la méthode à partir d'une page blanche. C'est inconfortable, c'est lent, et c'est la seule version qui construise quelque chose. L'inconfort est le signe que quelque chose se construit. Un élève qui passe quarante minutes à recopier des corrigés n'a rien révisé. Un élève qui passe quinze minutes à tenter trois questions sans aide, puis les corrige, a révisé correctement.

Il existe un test rapide pour savoir laquelle des deux vous pratiquez. Cachez une question corrigée et écrivez la première ligne vous-même. Si vous ne pouvez pas démarrer sans regarder, vous avez lu au lieu de vous entraîner. Presque tous les élèves qui ont révisé des heures et raté l'épreuve faisaient de la révision passive à haute dose. Les heures étaient réelles. L'apprentissage ne l'était pas.

Comment trouver la lacune qui vous bloque vraiment ?

Remontez à rebours depuis une question que vous ne savez pas faire jusqu'à l'étape que vous ne savez pas justifier. Prenez une question, ouvrez le corrigé, et descendez-le ligne après ligne. Pour chaque ligne, posez-vous deux questions : aurais-je pu la produire, et puis-je dire pourquoi elle est permise ? La première ligne où la réponse est non est un point de départ, pas la réponse. Continuez à creuser. La lacune se situe en général deux ou trois couches plus bas.

Un cas concret. Un élève ne parvient pas à résoudre une équation dont l'inconnue figure à deux dénominateurs. La première étape du corrigé est le produit en croix, qu'il sait faire. L'étape suivante développe des parenthèses, et son développement est faux environ une fois sur deux. Testé sur le seul développement de parenthèses, il s'en sort, sauf quand un signe moins se trouve devant. Testé sur la multiplication des nombres relatifs, il devine. Le chapitre bloquant n'a jamais été les équations. C'était une règle de signes rencontrée au Niveau 7 et jamais consolidée.

C'est pourquoi marteler le chapitre en cours aggrave les choses. Chaque heure supplémentaire passée sur ce chapitre renforce l'expérience de l'échec, alors que la cause réelle reste intacte trois ans en arrière, et l'élève en conclut que le problème, c'est lui. À Learning Loft Institute, le cours d'essai gratuit sert à cette recherche à rebours plutôt qu'à donner un cours, parce que le diagnostic détermine tout ce qui suit.

• Choisissez une seule question que vous ne savez pas faire, pas dix.
• Lisez le corrigé ligne après ligne et repérez la première ligne que vous n'auriez pas pu écrire.
• Demandez-vous pourquoi cette ligne est permise. Si vous ne savez pas le dire, c'est un candidat.
• Testez ce candidat isolément avec trois questions simples.
• Si vous réussissez, descendez d'une couche. Si vous échouez, vous l'avez trouvée.

Redémontrez la règle au lieu de l'apprendre par cœur

Une règle apprise par cœur n'a qu'un seul mode de défaillance : vous en oubliez un morceau et vous n'avez aucun recours. Une règle redémontrée se reconstruit de zéro en quatre-vingt-dix secondes environ. Sous la pression de l'examen, cette différence décide du maintien d'une note. C'est aussi pourquoi l'enseignement par les concepts vaut le temps supplémentaire qu'il coûte au départ.

Prenez la formule du second degré, que presque tout le monde apprend par cœur et que presque personne ne sait expliquer. Partez de a x au carré plus b x plus c égale zéro. Divisez chaque terme par a, puis passez la constante à droite. Complétez maintenant le carré : prenez la moitié du coefficient de x, ce qui donne b sur 2a, et ajoutez son carré des deux côtés. Le membre de gauche vaut désormais x plus b sur 2a, le tout au carré. Le membre de droite se range en b au carré moins 4ac, sur 4a au carré.

Prenez la racine carrée des deux membres. C'est de là que vient le plus-ou-moins, et là qu'apparaît la racine de b au carré moins 4ac, avec 2a en dessous. Retranchez b sur 2a et vous obtenez la formule exactement telle qu'elle est imprimée dans le manuel. Faites cette démonstration trois fois sur le papier et vous ne serez plus jamais l'élève qui écrit 2a sous la moitié seulement du numérateur. Vous verrez aussi pourquoi un discriminant négatif ne donne aucune solution réelle.

Le même principe traverse tout le reste. Le produit en croix n'est pas une règle tombée du ciel ; c'est ce qui se passe quand on multiplie les deux membres d'une équation par les deux dénominateurs. Diviser par une fraction n'est pas inverser-multiplier ; c'est se demander combien de demis tiennent dans trois. Chaque méthode du programme vient de quelque part, et apprendre d'où coûte vingt minutes de plus, une seule fois.

Vingt minutes concentrées par jour valent mieux que trois heures le dimanche

Les mathématiques se fixent par des restitutions répétées et espacées dans le temps, pas par le total des heures comptabilisées. Six séances de vingt minutes réparties sur une semaine laisseront davantage de traces qu'une séance unique de trois heures, même si la séance du dimanche est plus longue sur le papier. Chaque fois que vous ressortez une méthode de votre mémoire après une pause, cette mémoire devient plus difficile à perdre. Six jours de restitution, ce sont six renforcements. Une longue séance, c'est un seul.

La longue séance a un second défaut. Au bout d'une heure, vous êtes fatigué, et un entraînement fatigué vous apprend à commettre des erreurs d'inattention avec aisance. Vingt minutes, c'est assez court pour rester vif, et assez court pour que vous commenciez vraiment, ce qui compte plus que toute la théorie. Le plus dur, dans une habitude de maths, c'est d'ouvrir le livre, et un engagement de vingt minutes s'ouvre facilement.

Revenir délibérément sur d'anciens chapitres est la partie que les élèves sautent. Cela donne l'impression de perdre son temps, puisque ce chapitre a déjà été fait. C'est l'inverse. Un chapitre que vous n'avez pas touché depuis trois semaines est précisément celui qui a commencé à s'effacer : le restituer maintenant vaut donc plus que quatre répétitions supplémentaires du travail du jour. Installez définitivement l'échauffement sur un ancien chapitre et ne négociez jamais sa suppression.

• Cinq minutes : trois questions d'un chapitre étudié il y a deux ou trois semaines, de mémoire.
• Dix minutes : le chapitre du jour, livre fermé, raisonnement entièrement rédigé.
• Cinq minutes : corriger honnêtement et consigner chaque erreur dans le carnet.

Tenez un carnet d'erreurs et classez-les en quatre types

Se tromper à une question ne vous apprend presque rien en soi. Savoir pourquoi vous vous êtes trompé vous dit quoi faire demain. Réservez un cahier à cela. Pour chaque mauvaise réponse, notez la référence de la question, ce que vous avez fait, ce qui était correct, et à laquelle des quatre catégories l'erreur appartient. Cela prend environ une minute par question et remplace les suppositions par un relevé.

Les catégories comptent parce que les remèdes sont complètement différents. Les erreurs de concept demandent un réenseignement à partir du bas. Les erreurs de méthode demandent un entraînement plus large et mélangé, pour apprendre à reconnaître quel outil la question appelle, ce qui est une compétence distincte de l'usage de l'outil. Les erreurs de calcul demandent de ralentir et de prendre l'habitude de vérifier, pas davantage de théorie. Les erreurs de lecture demandent un petit rituel : souligner ce que la question demande réellement avant d'écrire quoi que ce soit.

Au bout de quinze jours, le carnet vous dit la vérité sur vous-même, et c'est rarement celle que vous attendiez. Beaucoup d'élèves convaincus d'être nuls en maths découvrent que l'essentiel de leurs points perdus tient à des erreurs de calcul et à des énoncés mal lus, des choses mécaniques, réparables et sans rapport avec les capacités. D'autres découvrent toutes leurs erreurs concentrées dans un seul chapitre. Ce paquet, c'est la lacune, désormais nommée et facile à confier à un professeur.

• Concept : vous n'aviez pas compris de quoi parlait la question. Reconstruisez le chapitre à partir du bas.
• Méthode : vous aviez compris, mais vous avez choisi la mauvaise procédure, ou fait les bonnes étapes dans le mauvais ordre.
• Calcul : le raisonnement était juste et les nombres ont dérapé. En général les signes ou les fractions.
• Lecture : vous avez correctement résolu une autre question que celle qui était imprimée.

Expliquez la méthode à voix haute à quelqu'un qui ne la connaît pas

Le vrai test de la compréhension, c'est de savoir si vous pouvez enseigner une méthode, sans y être invité, à quelqu'un qui ne la connaît pas déjà. Lire un corrigé et trouver que cela se tient, c'est de la reconnaissance. Se tenir devant un tableau et produire ce corrigé pendant qu'un auditeur perdu ne cesse de demander pourquoi, c'est de la compréhension. La plupart des points d'examen se perdent dans l'espace entre ces deux états.

Faites-le avec n'importe qui : un parent, un frère ou une sœur plus jeune, un ami de la classe en dessous, ou une chaise vide. L'auditeur n'a besoin d'aucune connaissance en maths. Il a besoin de demander pourquoi vous avez fait cela à chaque étape et de refuser le « parce que c'est la règle ». Vous vous entendrez devenir vague à un endroit précis. Ce flou est la prochaine chose à travailler, et vous venez de vous diagnostiquer gratuitement.

Expliquer est aussi le moyen le plus rapide de transformer un chapitre fragile en chapitre solide. Cela vous oblige à ordonner les étapes et à justifier chacune d'elles, ce qui est exactement ce qu'exige une réponse rédigée à l'examen. Vingt minutes à expliquer un chapitre à voix haute valent mieux qu'une heure à le relire. Si personne n'est disponible, parlez au mur et écrivez sur le papier au fur et à mesure. Cela paraît ridicule et cela marche quand même.

À quoi ressemble vraiment un calendrier réaliste ?

Des semaines, pas des jours. Si la lacune s'est ouverte il y a deux ou trois ans, elle ne se refermera pas en un week-end, et quiconque promet le contraire vend quelque chose. Une forme réaliste, c'est environ une semaine pour localiser la lacune, deux à quatre semaines pour la reconstruire, puis une amélioration régulière du travail en cours à mesure que les fondations cessent de céder en dessous. Nos élèves progressent en moyenne de deux paliers de note en six mois, ce qui est un objectif honnête et manifestement pas l'affaire de quinze jours.

Attendez-vous à ce que les notes soient en retard sur l'effort. Pendant les deux ou trois premières semaines, la réparation se fait sous le niveau évalué : les résultats aux contrôles peuvent donc ne pas bouger du tout. Ce qui change en premier est plus discret et plus fiable. Vous commencez à savoir où vous bloquez au lieu de vous sentir globalement perdu, et les questions qui restaient blanches reçoivent maintenant une première ligne. Suivez cela, pas le pourcentage, sinon vous prendrez un vrai progrès pour un échec.

Le mode d'échec habituel, c'est d'abandonner pendant ce décalage. Un élève laisse tomber la méthode en troisième semaine parce que le dernier contrôle n'était pas meilleur, revient à relire ses notes la veille au soir, et se confirme à lui-même qu'il ne sait pas faire de maths. Tenez les vingt minutes quotidiennes et le carnet d'erreurs pendant six semaines et vous aurez de vraies preuves, dans un sens ou dans l'autre. La plupart des élèves ne mènent jamais l'expérience assez longtemps pour le savoir.

Gardez une trace, pour que la preuve ne soit pas une simple impression. À Learning Loft Institute, chaque cours est enregistré, les contrôles hebdomadaires sont corrigés sous 24 heures et les parents reçoivent un bilan écrit chaque mois, exactement pour cette raison : au bout de trois semaines, personne ne se souvient avec exactitude de ce qu'il savait et ne savait pas faire au départ. Votre carnet d'erreurs fait le même travail tout seul.