ما الاحتمال وكيف يُحسب؟

الطريقة، خطوة بخطوة

1. 01

   عرِّف محاولة واحدة واكتب كل ما يمكن أن تنتجه

   rolling a fair die: {1, 2, 3, 4, 5, 6} — 6 outcomes

   القائمة الكاملة هي فضاء العينة، وكل احتمال خاطئ تقريبًا يأتي من كتابتها بإهمال لا من الحساب. وكتابتها تستحق الوقت في أي سؤال لم تره من قبل، لأن مقام إجابتك موجود فيها.

2. 02

   افحص هل النواتج متساوية في الترجيح

   fair die: yes. A drawing pin landing point-up or point-down: no.

   قاعدة العدّ لا تصحّ إلا حين يكون لكل ناتج الفرصة نفسها. أما مع قرص دوّار متحيّز أو دبوس رسم فيجب أن يأتي الاحتمال من بيانات تجريبية، على صورة تكرار نسبي. وافتراض العدالة حيث لم ينصّ عليها السؤال خطأ حقيقي لا تفصيلة شكلية.

3. 03

   عُدّ النواتج التي تحقّق الحدث واقسم

   P(even) = 3/6 = 1/2

   البسط يعدّ النواتج التي تجعل الحدث يقع وحدها — وهي هنا 2 و4 و6 — والمقام هو كل ناتج في القائمة. والمحافظة على هذا الترتيب هي ما تجعل الإجابة جزءًا من الواحد لا نسبة بين مقدارين، وهي شيء مختلف تُمنح عليه درجات مختلفة.

4. 04

   ضع الإجابة على مقياس 0 إلى 1 وافحصها

   0 ≤ P(A) ≤ 1 P(not A) = 1 - P(A)

   الاحتمال الأكبر من 1 أو الأصغر من 0 ليس إجابة بعيدة الترجيح، بل إجابة مستحيلة، وملاحظة ذلك أسرع فحص للخطأ متاح. وقاعدة المتمّمة تتبع المقياس نفسه: فما دام لا بد أن يقع شيء، فاحتمال ألا يقع الحدث هو ما يتبقى.

5. 05

   مع حدثين، قرّر أهي «و» أم «أو»

   and (independent): 1/2 × 1/2 = 1/4 or (mutually exclusive): 1/6 + 1/6 = 1/3

   هذه الكلمة وحدها تحدد العملية. فالحصول على صورتين بقطعتي نقد عادلتين حالة «و»، فتُضرب الاحتمالات لتعطي 1/4. وظهور 2 أو 5 في رمية نرد واحدة حالة «أو» بين ناتجين لا يقعان معًا، فتُجمع لتعطي 1/3. وقراءة السؤال بحثًا عن تلك الكلمة قبل الحساب هي العادة الجديرة بالبناء.

01

كل شيء يقع بين 0 و1

الاحتمال عدد من 0 إلى 1 شاملين، حيث 0 يعني أن الحدث لا يمكن أن يقع و1 يعني أنه لا بد أن يقع. ويمكن كتابته كسرًا أو عددًا عشريًا أو نسبة مئوية، والثلاثة مقبولة ما لم يحدد السؤال صورة بعينها — فـ 1/4 و0.25 و25% هي الإجابة نفسها.

ولأن القائمة تغطي كل ناتج ممكن، فإن مجموع احتمالات نواتج التجربة الواحدة يساوي 1 بالضبط. وهذه الحقيقة أنفع مما تبدو: فهي تتيح لك إيجاد احتمال مفقود على قرص دوّار أو في جدول بطرح ما لديك من 1.

02

العكس أسهل عادةً

القاعدة P(not A) = 1 − P(A)، واللجوء إليها كثيرًا ما يكون الفرق بين سطر واحد من الحل وعشرة أسطر. والأسئلة التي تطلب «واحدًا على الأقل» أوضح الحالات: فعكس واحد على الأقل هو لا شيء، ولا شيء عملية حسابية واحدة قصيرة عادةً.

ففي كيس يحوي 5 قطع حمراء و3 زرقاء و2 خضراء، يكون P(red) = 5/10 = 1/2، فيكون P(not red) = 1/2 دون عدّ الزرقاء والخضراء كلًا على حدة. وفي فضاء عينة أكبر يكون التوفير أعظم بكثير.

03

الضرب والجمع، وما يتغير عند السحب دون إرجاع

الحدثان المستقلان اللذان يقعان معًا تُضرب احتمالاتهما. والحدثان المتنافيان اللذان يقع أحدهما تُجمع احتمالاتهما. والخلط بينهما أشيع خطأ في الموضوع، وعلاجه أن تقرأ السؤال بحثًا عن كلمتي «و» و«أو» قبل كتابة أي شيء.

والاختيار دون إرجاع يغيّر الاحتمال الثاني، لأن العنصر الأول لا يُعاد. فمن كيس فيه 10 قطع، احتمال سحب حمراوين متتاليتين دون إرجاع هو 5/10 × 4/9 = 20/90 = 2/9 — فللكسر الثاني بسط أصغر ومقام أصغر معًا، لأن قطعة حمراء وقطعة من المجموع قد خرجتا.

ومخطط الشجرة هو الوسيلة المعتادة لضبط ذلك. فكل فرع يحمل احتماله، والاحتمالات على المسار الواحد تُضرب، واحتمالات المسارات الكاملة المنفصلة تُجمع.

• «و»، مستقلان — اضرب: P(A and B) = P(A) × P(B)
• «أو»، متنافيان — اجمع: P(A or B) = P(A) + P(B)
• دون إرجاع — أنقِص جزأي الكسر الثاني معًا
• على امتداد فرع الشجرة اضرب؛ وبين الفروع المنفصلة اجمع

04

كيف ندرّس هذا

نبدأ كل سؤال احتمال بكتابة فضاء العينة، حتى حين يرى الطالب الإجابة. فالعادة تكلّف ثواني قليلة في الأسئلة السهلة وهي ما يجعل الأصعب قابلة للحل، لأن المقام في تلك الأسئلة هو الصعوبة كلها.

وتُدرَّس مخططات الشجرة وسيلةً لتسجيل التفكير لا موضوعًا قائمًا بذاته. فالطالب الذي يفهم أن الفرع يعني «و» وأن التفرّع يعني «أو» لا يحتاج إلى حفظ متى يضرب.