كيف تُجرى القسمة المطوّلة

الطريقة، خطوة بخطوة

1. 01

   رتّب العملية على الورق

   12 ) 4728

   يوضع المقسوم عليه خارج القوس والمقسوم داخله، لأن الناتج يُكتب فوق المقسوم رقمًا رقمًا ويحتاج إلى المساحة. والمحافظة على محاذاة الأعمدة ليست ترتيبًا لذاته — فالقيمة المكانية لكل رقم في الناتج تتوقف على العمود الذي يجلس فيه.

2. 02

   اقسم على أول الأرقام التي تكفي

   12 into 4 → 0, so use 47. 47 ÷ 12 = 3 r 11. Write 3 above the 7.

   الاثنا عشر لا تدخل في 4، فأول رقم من الناتج مكانه فوق 7 لا فوق 4. ووضع هذا الرقم الأول في موضعه الصحيح هو حيث تُحسم معظم الإجابات الخاطئة، لأن كل ما يليه يرث العمود نفسه.

3. 03

   اضرب راجعًا واطرح لتعرف ما تبقّى

   3 × 12 = 36. 47 - 36 = 11.

   الطرح يخبرك بالقدر من الـ 47 الذي لم يستوعبه المقسوم عليه. وهذا الفائض ليس هدرًا — بل يُنقل إلى العمود التالي بوصفه عشرات، ولهذا يجب أن يكون الباقي في كل مرحلة أصغر من المقسوم عليه. فإن لم يكن كذلك، فالرقم الذي اخترته كان أصغر مما ينبغي.

4. 04

   أنزِل الرقم التالي وكرّر

   bring down 2 → 112. 112 ÷ 12 = 9 r 4. 9 × 12 = 108. 112 - 108 = 4.

   إنزال الرقم هو ما يصل الفائض بالقيمة المكانية التالية: فالـ 11 المتبقية تصير 110، والـ 2 المُنزَلة تجعلها 112. والدورة متطابقة في كل مرة، وهذا هو مغزى الطريقة كلها — إجراء واحد يتكرر بدل قرار جديد عند كل مرحلة.

5. 05

   أنهِ العمود الأخير

   bring down 8 → 48. 48 ÷ 12 = 4 r 0. 4 × 12 = 48. 48 - 48 = 0.

   لم يبقَ رقم يُنزَل، فالقسمة اكتملت، والطرح الأخير يعطي الباقي. والصفر هنا يعني أن المقسوم عليه يدخل بالضبط؛ وأي عدد آخر هو الباقي ويجب ذكره في الإجابة.

6. 06

   تحقّق بالضرب راجعًا

   4728 ÷ 12 = 394. Check: 394 × 12 = 4728 ✓

   الضرب ينقض القسمة، فضرب الناتج في المقسوم عليه ينبغي أن يعيد العدد الأصلي تمامًا. وهذا هو التحقق الوحيد الذي يلتقط رقمًا وُضع في غير عموده، وهو يستغرق وقتًا أقل من إعادة قراءة الحل. وحين يوجد باقٍ، يصير التحقق: الناتج × المقسوم عليه + الباقي.

01

الدورة هي الطريقة كلها

تبدو القسمة المطوّلة طويلة لأنها تُكتب بالكامل، لا لأن فيها الكثير مما يُحفظ. فهي أربع حركات — اقسم، اضرب، اطرح، أنزِل — تتكرر بهذا الترتيب مرة عن كل رقم من أرقام المقسوم. والطالب الذي يستطيع نطق الدورة يستطيع تنفيذ الطريقة؛ والذي لا يستطيع يخمّن عند كل مرحلة.

وأشيع صور الفشل ليست حسابية أصلًا. إنها وضع أول رقم من الناتج في العمود الخطأ، فينزاح كل رقم بعده ويخرج ناتج أكبر أو أصغر عشر مرات. والتأكد من أن الرقم الأول يجلس فوق آخر رقم في المجموعة التي قسمت عليها يمنع ذلك.

• اقسم — كم مرة يدخل المقسوم عليه؟
• اضرب — ذلك الرقم في المقسوم عليه
• اطرح — لتعرف ما تبقّى
• أنزِل — الرقم التالي، وابدأ من جديد

02

ماذا تفعل بالباقي

يمكن كتابة الباقي بثلاث صور، والسياق هو الذي يحدد الصحيحة منها. إما عددًا صحيحًا متبقيًا (394 والباقي 2)، أو كسرًا من المقسوم عليه (394 و2/12، ويُبسَّط إلى 394 و1/6)، أو بالاستمرار إلى المنازل العشرية (394.1666…). ويتوقع المنهج الوطني في إنجلترا أن يفسّر التلاميذ الباقي بالصور الثلاث.

والاختيار يحدّده السؤال عادةً لا التفضيل. فتوزيع 50 قلمًا على 12 طفلًا يترك باقيًا صحيحًا مقداره 2، لأن نصف قلم ليس إجابة مفيدة. أما توزيع 50 مترًا من الحبل على 12 شخصًا فلا يترك ذلك.

03

حين يكون المقسوم عليه من رقمين

المقسوم عليه ذو الرقمين هو حيث تكفّ القسمة المطوّلة عن كونها آلية، لأن عدد مرات دخول 12 في 112 ليس حقيقة مستدعاة. والتقدير أولًا هو الأسلوب: قرِّب المقسوم عليه إلى أقرب عشرة، وانظر كم مرة يدخل تقريبًا، ثم عدِّل.

وكتابة أوائل مضاعفات المقسوم عليه قبل البدء تزيل التخمين تمامًا. فبالنسبة إلى 12، كتابة 12، 24، 36، 48، 60، 72، 84، 96، 108، 120 على جانب الصفحة تحوّل كل مرحلة من القسمة إلى بحث في قائمة. وهذا ليس غشًّا؛ بل هو ما تحاول الطريقة أن تجعله ممكنًا.

04

كيف ندرّس القسمة المطوّلة

ندرّس عادة التقدير ثم التعديل قبل التخطيط على الورق، لأن الطالب الذي لا يستطيع تقدير كم مرة تدخل 12 في 112 لن تنقذه أعمدة مرتبة. وحين يصير التقدير موثوقًا، تصير الطريقة المكتوبة وسيلة لتسجيل العمل بدل أن تكون لغزًا في ذاتها.

ونفحص الطلاقة في جداول الضرب أولًا. فالقسمة المطوّلة هي حيث تطفو الجداول الضعيفة على السطح، وتشخيصها على أنها مشكلة قسمة وهي مشكلة استرجاع يهدر أسابيع. وحصة تجريبية مجانية تكفي عادةً لمعرفة أي المشكلتين أمامنا.