رياضيات GCSE
كيف تحلّ المعادلات التربيعية
رتّب المعادلة على الصورة ax² + bx + c = 0، ثم حلّلها إلى قوسين، أو استعمل القانون العام. مثالان محلولان: x² + 5x = 24 و3x² + 5x − 1 = 0، مع دور المميّز.
الإجابة باختصار
لحل معادلة تربيعية، رتّبها أولًا على الصورة ax² + bx + c = 0. ثم جرّب التحليل إلى قوسين واجعل كل قوس يساوي صفرًا. وإن لم تقبل التحليل، فاستعمل القانون العام x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)، فهو يعمل مع كل معادلة تربيعية.
الطريقة، خطوة بخطوة
رتّبها على الصورة القياسية
x² + 5x = 24 → x² + 5x - 24 = 0كل طريقة تأتي بعد ذلك تفترض أن أحد الطرفين صفر، لأن المنهج كله يقوم على أن حاصل الضرب لا يساوي صفرًا إلا إذا كان أحد عوامله صفرًا. والمعادلة المتروكة على صورة x² + 5x = 24 لا تستطيع الإفادة من ذلك، لأن قوسين حاصل ضربهما 24 لا يخبرانك بشيء عن أي منهما.
ابحث عن عددين حاصل ضربهما ac ومجموعهما b
need: product -24, sum +5 → +8 and -3هذا هو البحث الذي يمثّله التحليل فعلًا. وهنا a = 1، فيدخل الزوج مباشرة في القوسين. وكتابة أزواج عوامل 24 وتجريب مجاميعها أسرع من التحديق فيها: 1 و24، 2 و12، 3 و8، 4 و6 — والزوج 8 مع −3 يعطي −24 و+5.
اكتب القوسين واجعل كلًا منهما صفرًا
(x + 8)(x - 3) = 0 → x + 8 = 0 or x - 3 = 0إذا كان حاصل ضرب شيئين صفرًا، فأحدهما على الأقل صفر — وهذه الحقيقة وحدها هي ما يحوّل معادلة تربيعية إلى معادلتين خطيتين. وهي أيضًا سبب كون الترتيب في الخطوة الأولى غير اختياري. وفكّ القوسين للعودة إلى x² + 5x − 24 تحقق يستغرق خمس ثوان من صحة التحليل.
اقرأ الجذرين
x = -8 or x = 3للمعادلة التربيعية جذران ما لم يكن القوسان متطابقين، وإعطاء جذر واحد درجة مفقودة حتى لو كان المعطى صحيحًا. ويُحل كل قوس معادلةً خطية عادية، فتنقلب الإشارة: القوس (x + 8) يعطي x = −8 لا +8.
استعمل القانون العام حين تأبى التحليل
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)معظم المعادلات التربيعية ليس لها زوج عوامل صحيح، والبحث عن زوج غير موجود هو حيث يضيع وقت الامتحان. فإن مرّت دقيقة من البحث دون نتيجة، فانتقل إلى القانون — فهو يعمل مع كل معادلة تربيعية، قابلة للتحليل أو غير قابلة، والسؤال يشير إليه عادةً بطلب الإجابة بعدد من المنازل العشرية.
تحقّق من الجذرين في المعادلة الأصلية
x = -8: 64 - 40 = 24 ✓ x = 3: 9 + 15 = 24 ✓التعويض في المعادلة الأصلية — تلك التي قبل الترتيب — هو ما يجعل هذا تحققًا لا تكرارًا لحلّك أنت. ولا بد أن يحققها الجذران معًا. والجذر الذي يفشل يشير عادةً إلى خطأ إشارة في القوسين لا إلى خلل في الطريقة.
الاختيار بين الطرائق الثلاث
هناك ثلاثة طرق تؤدي إلى الجذرين، وجزء من المهارة أن تقرر بسرعة أيها تسلك. فالتحليل أسرعها حين ينجح، والقانون العام يعمل دائمًا، وإكمال المربع هو ما تستعمله حين يطلب السؤال نقطة التحوّل أو إجابة جذرية دقيقة.
وصياغة السؤال هي الدليل عادةً. فعبارة «أعطِ إجاباتك لمنزلتين عشريتين» تعني القانون العام في الغالب الأعم، لأن معادلة قابلة للتحليل كانت ستعطي إجابات دقيقة. وعبارة «اكتبها على الصورة (x + a)² + b» تعني إكمال المربع، ولن تكسب الدرجات أي طريقة أخرى.
- التحليل — الأسرع، لكن للمعادلات التي لها زوج عوامل صحيح فقط
- القانون العام — يعمل دائمًا؛ توقّعه حين تُطلب منازل عشرية
- إكمال المربع — لنقاط التحوّل والإجابات الجذرية الدقيقة والبراهين
القانون العام محلولًا بالكامل
خذ 3x² + 5x − 1 = 0، وليس لها زوج عوامل معقول. هنا a = 3 وb = 5 وc = −1. والمميّز هو b² − 4ac = 25 − 4 × 3 × (−1) = 25 + 12 = 37، فيكون الجذران x = (−5 ± √37) / 6.
وبما أن √37 ≈ 6.0828، فالجذران هما x = (−5 + 6.0828) / 6 ≈ 0.180 وx = (−5 − 6.0828) / 6 ≈ −1.85، كلاهما بثلاثة أرقام معنوية. والتعويض بـ 0.180 يعطي 3(0.0325) + 0.902 − 1 ≈ 0، وهذا هو التحقق.
وأشيع خطأ هو مع c حين يكون سالبًا: فحاصل −4 × 3 × (−1) هو +12 لا −12. وكتابة التعويض بالأقواس في مكانها، بدل الإدخال المباشر في الآلة الحاسبة، هي ما يمنع ذلك.
ماذا يخبرك المميّز قبل أن تحلّ
الجزء الواقع تحت الجذر، b² − 4ac، يحدد عدد الجذور الحقيقية للمعادلة، والأسئلة تسأل عنه مباشرة كثيرًا بدل أن تطلب الجذور نفسها.
ويستحق أن يُحسب أولًا حتى حين تكون الجذور مطلوبة، لأن المميّز السالب يعني أنه لا توجد إجابة حقيقية تُطلب، والاستمرار بعده جهد ضائع.
- b² − 4ac > 0 — جذران حقيقيان مختلفان؛ المنحنى يقطع محور x مرتين
- b² − 4ac = 0 — جذر واحد مكرر؛ المنحنى يمسّ محور x مرة واحدة
- b² − 4ac < 0 — لا جذور حقيقية؛ المنحنى لا يلتقي محور x
كيف ندرّس هذا
في برنامج رياضيات GCSE عندنا نضع حدًّا زمنيًا مقداره دقيقة واحدة للبحث عن زوج العوامل. فالطلاب يفقدون من الدرجات في البحث عن تحليلات غير موجودة أكثر مما يفقدون بأي خطأ في القانون نفسه، والحد الزمني المعلن يحوّل بحثًا مفتوحًا إلى قرار.
وندرّس المميّز قبل القانون لا بعده. فالطالب الذي يحسب b² − 4ac أولًا يعرف أي نوع من الإجابات ينتظر، وهذا التوقّع هو ما يلتقط زلة حسابية في السطر الذي يليه.
أسئلة شائعة
كيف تعرف أتحلّل أم تستعمل القانون العام؟
جرّب التحليل نحو دقيقة واحدة. فإن لم يوجد زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربه ac ومجموعه b، فانتقل إلى القانون. والسؤال الذي يطلب الإجابة بعدد معيّن من المنازل العشرية يخبرك أن الجذرين ليسا عددين صحيحين، فالقانون هو الطريق المقصود.
لماذا للمعادلة التربيعية إجابتان؟
لأن التربيع يفقد معلومة الإشارة، ولأن القطع المكافئ يقطع محور x في موضعين عادةً. والجذران كلاهما حل حقيقي. ولا يوجد جذر واحد مكرر إلا حين يتطابق القوسان، وهي الحالة b² − 4ac = 0.
ما القانون العام للمعادلة التربيعية؟
للمعادلة ax² + bx + c = 0، الجذران هما x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). وهو يعمل مع كل معادلة تربيعية، قبلت التحليل أو لم تقبله. والعلامة ± هي التي تنتج الجذرين، والمقدار تحت الجذر، b² − 4ac، هو المميّز.
ماذا يعني أن يكون b² − 4ac سالبًا؟
يعني ألا جذور حقيقية — فالمنحنى لا يلتقي محور x أبدًا. وفي GCSE الإجابة الصحيحة أن تقول ذلك بدل المتابعة. وبعد GCSE توجد الجذور أعدادًا مركّبة، لكن ذلك خارج ما تطلبه المواصفات.
هل يلزم الترتيب إلى = 0 أولًا؟
نعم، في كل طريقة. فالتحليل يعتمد على أن حاصل الضرب لا يكون صفرًا إلا حين يكون أحد عوامله صفرًا، والقانون معرَّف للصورة ax² + bx + c = 0. والحل مباشرة من x² + 5x = 24 هو حيث تبدأ حصة كبيرة من الإجابات الخاطئة.
المصادر
- 9.3 Solve Quadratic Equations Using the Quadratic Formula — Intermediate Algebra 2e — OpenStax, Rice University
آخر تحديث
ما زلت متعثّراً في هذا؟
يمكن للمعلّم أن يتابعك مباشرة وأنت تحلّ ويرى بالضبط أين يختلّ الأمر. الحصة الأولى مجانية.